Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I (Ejercicios)

Las Matemáticas para los alumnos del Bachillerato de Ciencias Sociales se asemeja a una piedra que está en el camino. Es decir, parece que solo molesta. Desgraciadamente esta exageración (la de molestar) se aproxima demasiado a la realidad. Efectivamente, muchos alumnos no entienden por qué deben estudiar Matemáticas si ellos son de letras. Por ello, decidí comenzar por los ejercicios para primero de Bachillerato de ciencias sociales que aparecen en  este libro.

¿Qué contenido hay en este libro?

En primer lugar, tenemos un capítulo cero. En él encontramos los enunciados de todos los ejercicios que resolvemos después. Esta estructura permite al profesor entregar a los alumnos los enunciados sin las soluciones. Esto es útil para que realicen tareas sin la tentación de copiar los resultados de forma directa.

Posteriormente el contenido se divide en tres grandes bloques, que son los que se estudian en este curso. En primer lugar, encontramos el bloque de números y álgebra. A continuación, tenemos el bloque de análisis. Por último, tenemos el bloque de probabilidad y estadística. A continuación detallamos qué encontramos en cada uno de los bloques:

Bloque de números y álgebra.

Tema 1: Números reales.

En este primer capítulo encontramos algunos ejercicios relacionados con los números racionales. Sin embargo, la parte más importante del tema son los ejercicios relacionados con los radicales. Encontramos ejemplos de todos los tipos de ejercicios: desde operaciones básicas con radicales hasta racionalización de números.

Tema 2: Logaritmos. Aplicaciones.

Uno de los contenidos más complicados que se estudian en el último curso de la Secundaria Obligatoria son los logaritmos. Este curso vuelven a aparecer y los hemos incluido en el tema 2. Encontramos ejercicios de cálculo de logaritmos sencillos de manera manual, hasta los más complejos de aplicación de las propiedades de los logaritmos. Entre los ejercicios de aplicación encontramos ejemplos de interés simple e interés compuesto.

Tema 3: Expresiones algebraicas.

Llevamos estudiando los polinomios desde los primeros cursos de Secundaria y aquí siguen. Aunque no encontramos conceptos nuevos este curso, tenemos varios ejercicios interesantes. Destacamos el Teorema del Resto y el Teorema del Factor. Además encontramos factorización de polinomios y la Regla de Ruffini de nuevo. Este capítulo es de gran importancia para los dos que tenemos después.

Tema 4: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones.

Y, ¿cuánto vale la x? Esta es una de las preguntas más complejas a la que se enfrenta un alumno. Sobre todo si no entiende qué es eso del álgebra. Para muchos alumnos la x es una letra y no un número. Y no digamos los problemas que hay cuando aparece su amiga la y.

En este tema comenzamos recuperando la resolución de ecuaciones polinómicas, con especial interés en las bicuadradas. Posteriormente pasamos a:

  • Ecuaciones racionales. Es decir, con fracciones.
  • Ecuaciones irracionales. Es decir, con raíces.
  • Ecuaciones exponenciales.
  • Ecuaciones logarítmicas.

Además encontramos sistemas de ecuaciones. En este curso nos resultan de gran importancia los sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. ¿Por qué? Porque en el siguiente curso volverán a aparecer y es importante tenerlos controlados cuanto antes.

Tema 5: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.

Ahora en lugar de tener igualdades, encontramos desigualdades. Y, ¿eso lo complica mucho? Pues realmente, no en exceso, pero necesitamos saber factorizar polinomios. En este capítulo aprendemos a resolver:

  • Inecuaciones polinómicas.
  • Inecuaciones con fracciones.
  • Sistemas de inecuaciones con una incógnita.
  • Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
  • Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Este último tipo de inecuaciones será de utilidad para resolver problemas de programación lineal que aparecerán en el último curso de Bachillerato.

Bloque de análisis.

Tema 6: Funciones.

Llevamos estudiando funciones desde el primer curso de la Secundaria Obligatoria y aquí recopilamos los conceptos que debemos tener claros. Tratamos la composición de funciones, el cálculo de inversas y el dominio de una función, principalmente. Cabe destacar que ahora el estudio del dominio lo realizamos a partir de la expresión algebraica de la función. Para ello, necesitamos soltura en la resolución de inecuaciones. Además estudiamos los problemas de la interpolación y la extrapolación en funciones.

Tema 7: Límites y continuidad.

En el último curso de Secundaria se comienza a estudiar las nociones de límite y continuidad. En este tema incluimos ejemplos de los tipos de indeterminaciones que se estudian este curso. Además incluimos ejercicios de continuidad de funciones. Encontramos ejemplos de las diferentes discontinuidades que podemos estudiar. Por último estudiamos los distintos tipos de asíntotas que podemos encontrar en una función.

Tema 8: Derivadas.

Uno de los problemas relacionados con las funciones es el estudio de cuánto crece una función en un intervalo. Este problema se vuelve complicado si el intervalo se hace cada vez más pequeño. Encontramos, en primer lugar el estudio de la derivadas a partir de la definición. Después encontramos ejercicios de aplicación de la Regla de la Cadena. Por último encontramos ejercicios de aplicaciones de las derivadas:

  • Rectas tangentes a una función.
  • Estudio del crecimiento de una función.
  • Cálculo de extremos relativos.
  • Problemas de optimización.

Dentro de los ejercicios para primero de Bachillerato de Ciencias Sociales, los de derivadas son los más complejos. Por ello, conviene practicarlos mucho.

Tema 9: Representación de funciones.

Aplicando los conocimientos adquiridos en los temas anteriores representamos funciones reales. Por un lado estudiamos la representación de funciones polinómicas y después funciones racionales.

Bloque de probabilidad y estadística.

Tema 10: Combinatoria.

Teóricamente, todos sabemos contar. El problema aparece si el número que debemos contar es muy alto. Para ello, necesitamos aprender técnicas de recuento. En este tema tratamos las tres técnicas más utilizadas: permutaciones, variaciones y combinaciones. Además hay ejercicios relacionados con números combinatorios y binomio de Newton.

Tema 11: Probabilidad.

En este tema encontramos ejercicios de la Regla de Laplace, que ya conocemos desde los primeros cursos de Secundaria. Además encontramos ejercicios que desarrollan las propiedades de la probabilidad y el concepto de independencia. Entre los ejercicios para primero de Bachillerato de ciencias sociales más complejos del tema encontramos el uso de:

  • El Teorema de Bayes.
  • El Teorema de la Probabilidad Total.

Tema 12: Distribuciones discretas. Distribución binomial.

Dentro de las distribuciones de probabilidad encontramos dos tipos: las discretas y las continuas. Las estudiaremos en este capítulo y el siguiente. Dentro de las distribuciones discretas, nos centramos especialmente en la binomial. ¿Por qué? Por dos motivos, es la más conocida y entra en Selectividad. Encontramos, por tanto, varios problemas en los que debemos desarrollar los conceptos de binomial, su media y su varianza.

Tema 13: Distribuciones continuas. Distribución normal.

Dentro de las distribuciones continuas, la más importante es la distribución normal. En la mayoría de los fenómenos cotidianos, los errores cometidos se comportan siguiendo una distribución normal. Comenzamos estudiando la normal N(0,1), para posteriormente, estudiar variables normales con cualquier media y varianza. Dedicamos varios ejercicios a la tipificación de la variable normal. Por último, encontraremos problemas en los que necesitamos aproximar una variable binomial por una normal.

Tema 14: Estadística unidimensional.

Conocemos algunos parámetros estadísticos desde hace varios cursos (la media, la moda). Sin embargo, necesitamos estudiar algunos más complejos. Ese es el objetivo principal de este tema: estudiar parámetros estadísticos. En esta ocasión, nos centramos en una variable. Haremos tablas de frecuencias y estudiaremos la mediana y varianza.

Tema 15: Estadística bidimensional.

En este tema, volvemos a estudiar parámetros estadísticos de una muestra. Pero hay una diferencia respecto al anterior. Ahora queremos estudiar dos características de los objetos y si existe alguna relación entre ellas. Encontramos ejercicios de covarianza y rectas de regresión.