Tema 5: Variables aleatorias discretas. Distribución binomial (2º Bachillerato Ciencias)

Aquí encontramos el tema de distribución binomial y, por extensión, las distribuciones discretas para segundo de Bachillerato de Ciencias.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Una variable aleatoria es una función que a cada suceso del espacio muestral le asigna un número. Una variable aleatoria es discreta si solo puede tomar un conjunto de valores aislados. Habitualmente este conjunto es finito. Por ejemplo la función que a cada individuo de una población le asigna el número de hermanos que tiene es una variable aleatoria discreta, ya que solo puede tomar valores enteros.

FUNCIÓN DE MASA

Llamamos $x_i$ a los posibles valores que puede tomar la variable $X$ y $p_i=P(X=x_i)$ . Una función de masa (asociada a una variable aleatoria $X$ ) es una función que cumple las dos siguientes condiciones:

$p_i\geq0$
La suma $\sum_i p_i$ es igual a uno.

Para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ esté en un intervalo $[a,b]$ , sumamos las probabilidades de los valores que están en ese intervalo.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Dada una variable aleatoria $X$ , su función de distribución $F(x)$ es la función que a cada valor real $x_0$ le asigna la probabilidad $F(x_0)=P(X\leq x_0)$ .

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

En esta sección estudiamos cómo calcular los parámetros de una distribución discreta.

MEDIA

Para calcular la media aplicamos la fórmula $\mu=\sum_i x_i\cdot p_i$ . También se puede representar como $E[X]$ .

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Para calcular la varianza utilizamos $\sigma^2=\sum_i x_i^2\cdot p_i-\mu^2$ . La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La varianza también se puede escribir como $V[X]$ .

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta sección es la más importante del tema de distribuciones discretas y distribución binomial para segundo de Bachillerato de Ciencias.

BINOMIAL $Bin(n,p)$

Consideramos un experimento que se repite $n$ veces de manera independiente. Llamamos $p$ a la probabilidad de obtener un suceso que denominados éxito.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN $Bin(n,p)$

Dada una variable aleatoria binomial $Bin(n,p)$ la probabilidad de tener exactamente $k$ éxitos es $P(X=k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$ . Para calcular la probabilidad de un intervalo, se debe aplicar la fórmula anterior a cada valor natural que pertenezca al intervalo.

MEDIA DE UNA VARIABLE BINOMIAL

Aunque se puede utilizar la fórmula para cualquier variable discreta, en el caso de una varable binomial, la media se puede calcular mediante la fórmula $E[X]=n\cdot p$ .

VARIANZA DE UNA VARIABLE BINOMIAL

Para calcular la varianza utilizamos la fórmula $V[X]=n\cdot p\cdot(1-p)$ .

DIRECTO RESUMEN DEL TEMA

Aquí puedes ver el vídeo resumen del tema completo:

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DIRECTO.

En el siguiente vídeo puedes ver toda la teoría y ejemplos del tema de distribución binomial para segundo de Bachillerato de Ciencias.

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