Tema 10: Probabilidad (4º ESO Matemáticas académicas)

Aquí tienes los vídeos relacionados con el tema de probabilidad para cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas.

PROBABILIDAD

La probabilidad es una rama de las Matemáticas que mide lo fácil o difícil de que un determinado resultado ocurra en una cierta situación. A cada resultado se le asigna un número entre 0 y 1. A un resultado que no ocurre nunca se le asigna el 0 y a uno que ocurre siempre, se le asigna el 1.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Llamamos experimento a cualquier experiencia que se puede repetir varias veces en las mismas condiciones. Decimos que un experimento es determinista si el resultado es siempre el mismo. Decimos que es aleatorio si no se puede predecir el resultado.

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se suele representar con E o con \Omega, dependiendo del texto.

SUCESOS

Se llama suceso a cualquier resultado de un experimento aleatorio.  Según el tipo de resultado tenemos los siguientes tipos de sucesos:

  • Elemental si está formado por un único resultado.
  • Compuesto si está formado por varios resultados.

Los sucesos de un experimento se suelen denotar con una letra mayúscula y los resultados se escriben entre llaves. Por otro lado podemos considerar los siguientes sucesos:

  • Suceso seguro, que es el que ocurre siempre.
  • Suceso imposible, que es el que no ocurre nunca. Se suele denotar con \emptyset.
  • El suceso A está contenido en el suceso B si todos los resultados de A también están en B. Se denota por A\subseteq B.
  • Los sucesos A y B son iguales si los resultados de A y B son los mismos.

Por ejemplo, si consideramos el experimento tirar un dado, el espacio muestral son los resultados sacar un 1, sacar un 2, sacar un 3, sacar un 4, sacar un 5 y sacar un 6, que escribimos en la forma E=\{1,2,3,4,5,6\}. Los sucesos A=\{2\} y B=\{4\} son sucesos elementales. El suceso C=\{sacar un número par\}=\{2,4,6\} es un suceso compuesto. Además tenemos que A\subseteq C y B\subseteq C. Por otro lado, el suceso sacar menos que 7 es el suceso seguro y el suceso sacar más de 7 es el suceso imposible.

OPERACIONES CON SUCESOS

Una vez que hemos definido qué es un suceso, podemos operar con ellos. En particular, consideramos cuatro operaciones; tres de ellas requieren dos sucesos y una cuarta que solo necesita de un suceso.

  • Unión: la unión de los sucesos A y B son los elementos que están en A, están en B o están en los dos a la vez. Se representa como A\cup B.
  • Intersección: la intersección de los sucesos A y B son los elementos que están en A y en B a la vez. Se representa como A\cap B. Dos sucesos son incompatibles  si A\cap B=\emptyset. En caso contrario se llaman compatibles.
  • Contrario o complementario: El complementario de A son todos los sucesos que están en E, pero no en A. Se representa como A^c o \overline{A}.
  • Diferencia de sucesos: Se denota como A-B y se el conjunto de elementos que están en A pero no están en B. Esta diferencia coincide con A\cap\overline{B}.

REGLA DE LAPLACE

Llamamos espacio muestral equiprobable a cualquier espacio muestral en el que todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es decir, no hay resultados que ocurren más fácilmente que otros. En un espacio muestral equiprobable E, se define la probabilidad del suceso A como P(A)=\frac{casos\ favorables}{casos\ posibles}. Es decir, el número de elementos de A entre el número de elementos de E. A este resultado se le llama regla de Laplace.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

A continuación escribimos las propiedades de la probabilidad que se estudian en cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas:

  • Para cualquier suceso A, se tiene que 0\leq P(A)\leq1.
  • P\left(\emptyset\right)=0 y P(E)=1.
  • Si tenemos dos sucesos que cumplen A\subseteq B entonces P(A)\leq P(B).
  • Dado un suceso A, tenemos que P\left(\overline{A}\right)=1-P(A).
  • Dados dos sucesos A y B, se tiene que P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Si, además, los sucesos son incompatibles se tiene que P(A\cup B)=P(A)+P(B).
  • Dados dos sucesos A y B, tenemos que P\left(A\cap\overline{B}\right)=P(A)-P(A\cap B).

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Cuando tenemos información extra sobre un experimento, hablamos de probabilidad condicionada. No es la misma probabilidad de obtener un uno en un dado normal que obtener un uno en un dado que tiene un 1 en todas sus caras. Para calcular la probabilidad del suceso A condicionado a B (es decir, tenemos la información extra del suceso B) utilizamos la fórmula P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Despejando de esta expresión tenemos el conocido como teorema de la probabilidad compuesta, que dice P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A/B).

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Dos sucesos son dependientes si el hecho de que ocurra uno de ellos afecta a la probabilidad de que ocurra el otro. Es decir, A y B son independientes si P(A)=P(A/B). Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta, tenemos que A y B son independientes si P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

DIRECTO RESUMEN DE PROBABILIDAD

En esta sección se encuentra el vídeo con el resumen del tema de probabilidad para cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas.

PROBABILIDAD. PROPIEDADES BÁSICAS. REGLA DE LAPLACE. PROBABILIDAD CONDICIONADA. DIRECTO

En el siguiente vídeo puedes ver toda la teoría y ejemplos del tema de probabilidad para cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas.

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TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

El teorema de probabilidad total y teorema de Bayes se suelen utilizar de manera conjunta en experimentos compuestos (y dependientes). En esta situación, consideramos A_1, A_2,\dots, A_n los sucesos posibles del primer experimento y llamamos B al experimento del segundo experimento del que queremos conocer la probabilidad. Además suponemos conocidas (calculables) las probabilidades P(B/A_1), P(B/A_2),\dots,P(B/A_n).

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Con la notación anterior P(B)=P(A_1)\cdot P(B/A_1)+P(A_2)\cdot P(B/A_2)+\dots+P(A_n)\cdot P(B/A_n).

TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes nos sirve para conocer información sobre el primer experimento, sabiendo lo que ha ocurrido en el segundo. P(A_i/B)=\frac{P(A_i)\cdot P(B/A_i)}{P(B)}.

Utilizando el teorema de probabilidad total en algunos manuales aparece la fómula:

P(A_i/B)=\frac{P(A_i)\cdot P(B/A_i)}{P(A_1)\cdot P(B/A_1)+P(A_2)\cdot P(B/A_2)+\dots+P(A_n)\cdot P(B/A_n)}

DIRECTO DE TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

En esta sección se encuentra el vídeo con el resumen y ejemplos del teorema de probabilidad total y del teorema de Bayes para cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas.

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES. DIRECTO

En el siguiente vídeo puedes ver toda la teoría y ejemplos del teorema de probabilidad total y teorema de Bayes para cuarto de Secundaria en Matemáticas Académicas.

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