CIENCIAS MADRID 2020

CIENCIAS MADRID MODELO 2020

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO A.1

Se quiere construir un invernadero para el cultivo de semillas con ambiente controlado de temperatura, humedad y composición del aire. El aire que hay que suministrar debe contener un 78\% de nitrógeno, un 21\% de oxígeno y un 1\% de argón.

a) (0,5 puntos) Si la capacidad del invernadero es 2000 litros, determine cuántos litros de nitrógeno, cuántos de oxígeno y cuántos de argón son necesarios.

b) (2 puntos) Para suministrar el aire se dispone de tres mezclas gaseosas ABC, cuya composición se expresa en la tabla adjunta. Obtenga la cantidad que hay que utilizar de cada mezcla para llenar el invernadero de aire con la composición requerida.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Mezcla&Nitrógeno&Oxígeno&Argón\\\hline A&80\%&20\% & 0\%\\B&70\%&20\%&10\%\\C&60\% & 40\%&0\%\\\hline\end{array}

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO A.2

Dada la función f(x)=e^{3x-2}, se pide:

a) (1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva y=f(x) tiene pendiente igual a \frac{3}{e} y escribir la ecuación de esta recta tangente.

b) (0,5 puntos) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow2/3}\frac{1-f(x)}{6x-4}.

c) (1 punto) Calcular el área de la superficie acotada por la curva y=f(x) y las rectas x=0y=1.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO A.3

Dadas las rectas r_1:\left\{\begin{array}{l}x=z-1\\y=2-3z\end{array}\right.r_2:\left\{\begin{array}{c}x=4+5z\\y=4z-3\end{array}\right., se pide:

a) (1,5 puntos) Estudiar su posición relativa y hallar la distancia entre ellas.

b) (1 punto) Hallar el punto de corte entre la recta r_2 y el plano que contiene a r_1 y pasa por el origen de coordenadas.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO A.4

Dados dos sucesos AB, se conocen las siguientes probabilidades: P(A\cup B)=0,55P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=0,90P(B/A)=0,25. Se pide:

a) (2 puntos) Calcular P(A\cap B)P(A)P(B)P(B/\overline{A}).

b) (0,5 puntos) Deducir de una manera razonada si los sucesos AB son independientes.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO B.1

Dadas las matrices A=\left(\begin{array}{cc}1&2+t\\5&10+3t\\-1&-2\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}3\\9\\3t+3\end{array}\right), se pide:

a) (1 punto) Calcular el rango de la matriz A en función del parámetro t.

b) (1,5 puntos) Resolver el sistema AX=B, para los valores de t que lo hagan compatible y determinado.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO B.2

Dada la función f(x)=\frac{3}{x+1}, se pide:

a) (1 punto) Calcular el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la curva en x=2.

b) (0,75 puntos) Determinar las posibles asíntotas de la curva y=f(x) y estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) (0,75 puntos) Calcular \int^2_0 x f(x)\rm{d}x.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO B.3

Dados los puntos A(1,1,-2), B(3,-1,4) y la recta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+3\lambda\\y=-2+5\lambda\\z=3\end{array}\right., se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular el área del triángulo OPQ, siendo O=(0,0,0), P el punto medio del segmento AB y Q la intersección de la recta que pasa por A y B y el plano \pi:z=7.

b) (0,5 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r.

c) (0,5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman la recta r y la recta que pasa por A y por B.

EVAU CIENCIAS MADRID MODELO 2020 EJERCICIO B.4

En cierta ciudad se estima que la temperatura máxima de cada día, en el mes de junio, sigue una distribución normal de media 30ºC y varianza 25. Se pide:

a) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera del mes la temperatura máxima esté entre 28ºC y 32ºC.

b) (1 punto) Calcular el número esperado de días del mes con máxima superior a 36ºC.

c) (0,75 puntos) Determinar la temperatura máxima alcanzada el día 10 de junio, sabiendo que dicha temperatura fue superada exactamente el 50\% de los días.

CIENCIAS MADRID JULIO 2020

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO A.1

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a: \left\{\begin{array}{c}x+ay+z=a+1\\-ax+y-z=2a\\-y+z=a\end{array}\right\}. Se pide:
a) (2 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores de a.
b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para a=0

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO A.2

Dadas  las funciones f(x)=x^3+3x^2-1g(x)=6x, se pide:

a) (0,5 puntos) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.

b) (1 punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) con pendiente mínima.

c) (1 punto) Calcular \int^2_1\frac{f(x)}{g(x)}\rm{d}x.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO A.3

Dadas las rectas r:\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\3x-z=-1\end{array}\right.s:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda\\y=-4-\lambda\\z=\lambda\end{array}\right., se pide:

a) (1 punto) Calcular la posición relativa de las rectas rs.

b) (0,5 puntos) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P(2,-1,5).

c) (1 punto) Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO A.4

Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana. La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30\%. En los lanzamientos sucesivos la puntería se va afinando de manera que en el segundo es del 40\%, en el tercero del 50\% y en el cuarto del 60\%. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto disparo.

b) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.

c) (1 punto) En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan en un 85\% de sus lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al primer disparo.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO B.1

(2.5 puntos) Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de 275,8 millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de 13740 toneladas de doradas y 23440 toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron 7400 toneladas por un valor de 63,6 millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue 11 céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO B.2

Sea la función: f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2& si&x\leq1\\(x-1)^3&si&x>1\end{array}\right.

a) (0,5 puntos) Estudie su continuidad en [-4,4].

b) (1 punto) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].

c) (1 punto) Determinar si la función g(x)=f'(x) está definida, es continua y es derivable en x=1.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO B.3

Dados los puntos P(-3,1,2)Q(-1,0,1) y el plano \pi de ecuación x+2y-3z=4, se pide:

a) (1 punto) Hallar la proyección de Q sobre \pi.

b) (0,5 puntos) Escribir la ecuación del plano paralelo a \pi que pasa por el punto P.

c) (1 punto) Escribir la ecuación del plano perpendicular a \pi que contiene a los puntos PQ.



EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 EJERCICIO B.4

Se consideran dos sucesos AB tales que P(A)=0,5P(B)=0,25P(A\cap B)=0,125. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos:

a) (0,5 puntos) Sea C otro suceso, incompatible con A y con B. ¿Son compatibles los sucesos CA\cup B?

b) (0,5 puntos) ¿Son AB independientes?

c) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) (donde \overline{A} denota el suceso complementario al suceso A).

d) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad P(\overline{B}/A).

CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES)

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO A.1

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales \left\{\begin{array}{c}(k+1)x+3y+kz=1\\3x+(k+1)y+2z=k-1\\kx+2y+kz=2\end{array}\right., se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro real k

b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para k=3.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO A.2

Dada la función f(x)=\frac{1}{2}-\sin x+x\cos x, se pide:

a) (1,25 puntos) Estudiar su crecimiento en el intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Justificar, usando el teorema adecuado, que la función se anula en algún punto de ese intervalo. Justificar razonadamente que ese punto es único.

b) (1,25 puntos) Calcular \int_0^\frac{\pi}{2}f(x)\rm{d}x.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO A.3

Se consideran los puntos A(0,-4,2), B(3,-2,3) y C(-1,-3,3). Se pide:

a) Comprobar que el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo, identificando los catetos y la hipotenusa.

b) (0,75 puntos) Determinar una ecuación del plano \pi que contiene a los tres puntos.

c) (1 punto) Calcular el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por los puntos B y C.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO A.4

De una bolsa con 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento. Se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3

b) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3.

c) Calcular la probabilidad de que ningno de los dos números sea múltiplo de 2.

d) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO B.1

Sean B=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right) y una matriz A una matriz que verifica AB=BC. Se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular el determinante de A.

b) (1 punto) Calcular BCB^{-1}.

c) (1 punto) Encontrar el vector \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) tal que BC\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right).

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO B.2

Disponemos de 10 metros de una barra metálica. Con ella queremos construir una estructura formada por un rectángulo que está rematado por arriba con un triángulo equilátero. La base del triángulo coincide con el lado superior del rectángulo. Para construir la estructura, se cortan 6 trozos de la barra original de longitudes adecuadas y se sueldan para obtener la forma pedida. Se pide:

a) (0,5 puntos) Si denotamos por x la base del triángulo, calcular su altura en función de x.

b) (2 puntos) Determinar cómo debemos cortar la barra original para que la estructura resultante encierre un área total máxima.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO B.3

Dadas las rectas r:\left\{\begin{array}{l}x-z=0\\x+2y-z=4\end{array}\right. y la recta s que pasa A\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right) y tiene dirección (-1,1,0), se pide:

a) (0,5 puntos) Estudiar la posición relativa de ambas rectas.

b) (1 punto) Calcular la ecuación de un plano que contiene a la recta r y a un vector perpendicular a r y a s.

c) (1 punto) Encontrar una perpendicular común a r y a s.

EVAU CIENCIAS MADRID JULIO 2020 (COINCIDENTES) EJERCICIO B.4

El peso de la crías recién nacidas de una especie de primates sigue una distribución normal X de media \mu=3353 gramos. Sabiendo que P(X>3693)=0,2, se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular la desviación típica, \sigma, de la distribución de pesos.

b) (1 punto) Calcular el valor x_0 tal que P(X<x_0)=0,2.

CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO A.1

Sea A una matriz de tamaño 3\times4 tal que sus dos primras filas son (1,1,1,1) y (1,2,3,4) y sin ningún cero en la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz A que verifique la condición pedida, justificándolo apropiadamente:

a) (0,5 puntos) La tercera fila de A es combinación lineal de las dos primeras.

b) (0,5 puntos) Las tres filas de A son linealmente independientes.

c) (0,5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.

d) (0,5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.

e) (0,5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema incompatible.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO A.2

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}\frac{x-1}{x²-1}& si &x<1,x\neq1\\\frac{x²+1}{4x}& si&x\geq1\end{array}\right., se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular f(0) y (f\circ f)(0).

b) (1,25 puntos) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x) en x=1 y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.

c) (0,75 puntos) Estudiar sus asíntotas.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO A.3

Dados el punto P(3,3,0) y la recta r\equiv \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{0}, se pide:

a) (0,75 puntos) Escribir la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.

b) (1 punto) Calcular el punto simétrico de P respecto de r.

c) (0,75 puntos) Hallar dos puntos A y B de r tales que el triángulo ABP sea rectángulo, tenga área \frac{3}{\sqrt{2}} y el ángulo recto en A.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO A.4

Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 4 bolas rojas y 2 negras, la urna B contiene 3 bolas de cada color y la urna C contiene 6 bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.

c) (0,5 puntos) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que las segunda sea negra.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO B.1

Sean las matrices A=\left(\begin{array}{ccc}0&-1&2\\2&1&-1\\1&0&1\end{array}\right), I=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\\0&1\end{array}\right). Se pide:

a) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A.

b) (0,5 puntos) Calcular la matriz C=A^2-2I.

c) Calcular el determinante de la matriz D=ABB^t (donde B^t denota la matriz traspuesta de B).

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO B.2

La potencia generada por una pila viene dada por la expresión P(t)=25te^{-t^2/4}, donde t>0 es el tiempo de funcionamiento.

a) (0,5 puntos) Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento indefinidamente.

b) (0,75 puntos) Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.

c) (1,25 puntos) La energía total generada por la pila hasta el instante t, E(t), se relaciona con la potencia mediante E'(t)=P(t), con E(0)=0. Calcular la energía producida por la pila en el instante t=0 y el instante t=2.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO B.3

Del paralelogramo ABCD, se conocen los vértices consecutivos A(1,0,-1), B(2,1,0) y C(4,3,-2). Se pide:

a) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AC y es perpendicular a los segmentos AC y BC.

b) (1 punto) Hallar las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo resultante.

c) Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}.

EVAU CIENCIAS MADRID SEPTIEMBRE 2020 EJERCICIO B.4

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independiente X, Y. Sabemos que P(X)=0,4 y que P\left(X\cap\overline{Y}\right)=0,08 (donde \overline{Y} es el suceso complementario de Y). Se pide:

a) (1 punto) Calcular P(Y).

b) (0,5 puntos) Calcular P(X\cup Y).

c) (1 punto) Si X es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando no sucede X y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.