Tema 13: Distribuciones continuas. Distribución normal (2º Bachillerato Sociales)

Aquí encontramos el tema de distribución normal y, por extensión, las distribuciones continuas para segundo de Bachillerato de Sociales.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Una variable aleatoria es una función que a cada suceso del espacio muestral le asigna un número. Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor en un intervalo de los números reales. Por ejemplo la función que a cada individuo de una población le asigna su altura es una variable aleatoria continua, ya que puede tomar cualquier valor.

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Una función de densidad (asociada a una variable aleatoria X) es una función que cumple las dos siguientes condiciones:

  • f(x)\geq0
  • El área encerrada entre la gráfica de la función f(x) y el eje X es igual a uno.

Para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X esté en un intervalo [a,b], calculamos el área encerrada entre la gráfica y el eje X en el intervalo [a,b]. A diferencia de las variables aleatorias discretas, en cualquier variable aleatoria continua P(X=x_0)=0 para cualquier valor real x_0.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Dada una variable aleatoria X, su función de distribución F(x) es la función que a cada valor real x_0 le asigna la probabilidad F(x_0)=P(X\leq x_0). Por tanto, podemos escribir la probabilidad de un intervalo como P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a).

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta sección es la más importante del tema de distribuciones continuas y distribución normal  para segundo de Bachillerato de Sociales.

NORMAL N(\mu,\sigma)

Diremos que una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media \mu y desviación típica \sigma si su función de densidad es f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}.

NORMAL N(0,1)

La variable normal Z\equiv N(0,1) es una variable normal con media 0 y desviación típica 1. Es interesante porque su función de distribución está tabulada y, además las probabilidades de cualquier variable normal se puede expresar con una probabilidad en Z.

TIPIFICACIÓN DE VARIABLES NORMALES

Dada una distribución normal X\equiv N(\mu, \sigma) tenemos que la variable aleatoria \frac{X-\mu}{\sigma}\equiv Z. Por tanto, podemos transformar probabilidades de cualquier variable normal para poder buscarlas en la tabla de la distribución de la normal Z.

APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL

En el tema de distribuciones discretas hemos estudiado la variable binomial. Sin embargo, no estudiamos un tipo de problema en la que intervienen dichas distribuciones. Este caso particular es cuando la n es grande (se suele considerar grande si n\geq30). En este caso, tenemos que X\equiv Bin(n,p) se puede aproximar mediante Y\equiv N(n\cdot p,\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}). Así, las probabilidades en la variable binomial se pueden calcular mediante la distribución normal. Para pasar de una variable discreta a una continua realizamos la conocida como corrección por continuidad de Yates.

DIRECTO RESUMEN DEL TEMA

Aquí puedes ver el vídeo resumen del tema completo:

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL. DIRECTO.

En el siguiente vídeo puedes ver toda la teoría y ejemplos del tema de distribución normal para segundo de Bachillerato de Sociales.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.