Tema 3: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones (1º Bachillerato Ciencias)

El tema de ecuaciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primero de Bachillerato en Matemáticas de Ciencias es uno de los más extensos del temario. Sin embargo es, en su mayor parte una recopilación de lo estudiado en cuarto de Secundaria.

ECUACIONES.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas (letras). Esta igualdad tiene la particularidad de que no es válida para cualquier valor que le demos a la incógnita. En caso de que una igualdad sea cierta para todos los valores de la(s) incógnita(s), se llama identidad.
Una solución (o raíz) de una ecuación es un valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar todas las raíces de dicha ecuación.

ECUACIONES POLINÓMICAS.

Una ecuación es polinómica cuando los dos miembros de la igualdad son expresiones polinómicas. Según el grado de los polinomios implicados se clasifican en primer grado, segundo grado o de grado superior a dos (existe el término tercer grado, cuarto grado, etcétera). En el tema de ecuaciones y sistemas en en primero de Bachillerato (en Ciencias), se supone que ya sabemos resolver todas las ecuaciones polinómicas y también las no polinómicas.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Aunque en primero de Bachillerato, la mayoría de los alumnos saben resolver estas ecuaciones se encuentran ciertos problemas de concepto y dificultades para resolver ecuaciones. Dada una ecuación de segundo grado escrita en su forma general, es decir, en la forma a\cdot x^2+b\cdot x+c=0, la resolución habitual se realiza mediante el uso de la fórmula x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}. Sin embargo, si la ecuación es incompleta (es decir, si falta el término lineal o el independiente), se pueden utilizar otros métodos.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. TEORÍA.

En primer lugar conviene recordar que una ecuación de segundo grado es una ecuación en la que el polinomio que aparece tiene grado dos. En esta ocasión, a diferencia de ecuaciones de primer grado, tenemos una fórmula que nos sirve para encontrar la solución.
Para repasar todos los conceptos teóricos de ecuaciones de segundo grado (soluciones, fórmula, número de soluciones, tipo de soluciones…) puedes ver el siguiente vídeo:

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS. EJEMPLOS FÁCILES.

En primer lugar estudiamos ecuaciones de segundo grado completas; es decir, aquellas que tienen término de grado dos, de grado uno y de grado cero (sin x). Primero tenemos un vídeo con ejemplos fáciles en el que hay ejemplos con dos soluciones, con una o ninguna:

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS. EJEMPLOS DIFÍCILES.

A continuación tenemos un vídeo con ecuaciones de segundo grado con soluciones más complicadas. Normalmente, esto se debe a que el coeficiente principal del polinomio es distinto de uno.  Aunque esto no debería suponer un problema para el estudio de ecuaciones y sistemas en primero de Bachillerato en la modalidad de matemáticas de Ciencias, esto no es siempre así. De hecho, olvidarse el coeficiente principal en el denominador de la fórmula es de los errores más comunes. Puedes ver el vídeo directamente aquí

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS. EJEMPLOS.

En algunas ocasiones, nos encontramos que el polinomio de la ecuación no es completo (es decir, no tiene término lineal o término independiente). En este caso, se puede utilizar la fórmula de la ecuación de segundo grado. Sin embargo, en el siguiente vídeo encontramos métodos alternativos para resolver este tipo de ecuaciones.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN FORMA NO GENERAL. EJEMPLOS.

Sin embargo, no siempre la resolución de ecuaciones de segundo grado es tan sencilla y directa. En ocasiones la ecuación de segundo grado no está escrita en su forma general. En estos casos, lo primero es transformar la ecuación a su forma general. Aquí puedes ver ejemplos de resolución de ecuaciones que no están escritas en su forma general.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Teniendo en cuenta que las matemáticas deben ser utilizadas para resolver problemas cotidianos, tenemos que una de las mayores aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado es la resolución de problemas. En el siguiente vídeo puedes ver la resolución de dos problemas cotidianos mediante ecuaciones de segundo grado.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS.

ECUACIONES BICUADRADAS.

ECUACIONES NO POLINÓMICAS

ECUACIONES RACIONALES.

ECUACIONES IRRACIONALES.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

ECUACIONES EXPONENCIALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con las mismas incógnitas que se deben resolver a la vez. Una solución de un sistema es un conjunto de valores (uno para cada incógnita que hace que todas las igualdades sean ciertas. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones del sistema.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Un sistema de ecuaciones se llama sistema de ecuaciones lineales si todas las ecuaciones son de primer grado. Hasta cuarto de Secundaria solo se estudian este tipo de sistemas.

SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

Habitualmente, los sistemas de ecuaciones se clasifican según el número de incógnitas y el número de ecuaciones. En el tema de sistemas de ecuaciones de primero de Bachillerato en matemáticas de Ciencias se comienza repasando este tipo de sistemas. Habitualmente se utilizan tres métodos distintos para resolverlos: sustitución, igualación y reducción.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS. DIRECTO.

En el siguiente vídeo se hace un resumen de todos los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Es decir, por el método de sustitución, igualación y reducción. Además también se resuelven problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.

Este es el primer curso en el que se estudian sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. En particular, en el tema de sistemas de ecuaciones de primero de Bachillerato en Matemáticas de Ciencias se utiliza el método de Gauss.

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS. DIRECTO.

En el siguiente vídeo encontramos una explicación del método de Gauss. Además encontramos ejemplos resueltos y ejemplos de resolución de ejemplos de problemas que se resuelven con un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones se llama sistema de ecuaciones no lineales si alguna o varias de las ecuaciones son no lineales.

SISTEMAS DE ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO 2.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que ambas ecuaciones son polinómicas y, al menos una de ellas, tiene grado 2.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.  POLINÓMICAS. DIRECTO

En el tema de sistemas de ecuaciones de primero de Bachillerato en Matemáticas de Ciencias únicamente se tratan sistemas con ecuaciones de grado dos. Lo habitual es utilizar el método de sustitución, aunque puede ser útil saber utilizar todos.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES RACIONALES.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones, es racional. Es decir, que tiene alguna incógnita en el denominador.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. RACIONALES. DIRECTO

En este vídeo estudiamos cómo resolver sistemas de ecuaciones racionales, mediante cambio de variable.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES IRRACIONALES.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones es irracional. Es decir, que tiene alguna incógnita dentro de una raíz.

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones es exponencial. Es decir, que tiene alguna incógnita en un exponente.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. EXPONENCIALES. DIRECTO

En este vídeo estudiamos cómo resolver sistemas de ecuaciones exponenciales con distintos métodos.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones es logarítmica. Es decir, que tiene alguna incógnita dentro de un logaritmo.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. LOGARÍTMICAS. DIRECTO

En este vídeo estudiamos cómo resolver sistemas de ecuaciones logarítmica con distintos métodos.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

Aquí estudiamos sistemas de dos ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones es logarítmica. Es decir, que tiene alguna incógnita dentro de un logaritmo.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. LOGARÍTMICAS. DIRECTO

En este vídeo estudiamos cómo resolver sistemas de ecuaciones logarítmica con distintos métodos.

Si quieres ver el vídeo directamente en Youtube pincha en el enlace al vídeo.